SEMINARIOS CEPREUNTELS

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AULA 01

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ÁLGEBRA

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Álgebra CEPREUNTELS: fórmulas matemáticas, matrices y gráficas para preparación preuniversitaria.

MUESTRA DE EVALUACION DEL SEMINARIO 2027-I

1 / 8

Categoría: Álgebra

Calcule el quinto término del desarrollo del cociente notable \(\displaystyle\frac{x^{2}-2x}{\sqrt[5]{x-1}-1}\).

A) \(\displaystyle (x-1)^{5}\)

B) \(\displaystyle x^{2}-1\)

C) \(\displaystyle sqrt[5]{x-1}\)

D) \(\displaystyle x+1\)

E) \(\displaystyle x-1\)

RESOLUCIÓN:

Sumamos y restamos 1 en el numerador para dar forma al cociente notable:
\(\displaystyle \frac{x^{2}-2x+1-1}{\sqrt[5]{x-1}-1} = \displaystyle\frac{(x-1)^{2}-1}{\sqrt[5]{x-1}-1} = \displaystyle\frac{\left(\sqrt[5]{x-1}\right)^{10}-1^{10}}{\sqrt[5]{x-1}-1}\)
Aplicando el término general \(\displaystyle t_{k} = a^{n-k} \cdot b^{k-1}\) para \(\displaystyle n=10\) y \(\displaystyle k=5\):
\(\displaystyle t_{5} = \left(\sqrt[5]{x-1}\right)^{10-5} \cdot 1^{5-1} = \left(\sqrt[5]{x-1}\right)^{5} = x - 1\)

2 / 8

Categoría: Álgebra

Si \(\displaystyle E=\sqrt[5]{m^{2}+\sqrt{m^{4}-32}}\sqrt[5]{m^{2}-\sqrt{m^{4}-32}}\), halle el valor de \(\displaystyle M=(E^{-1}-0,5)^{3}\).

A) 8

B) 7

C) 0

D) 1

E) 4

RESOLUCIÓN:

Multiplicando los radicales del mismo índice por diferencia de cuadrados:
\(\displaystyle E = \sqrt[5]{\left(m^{2}+\sqrt{m^{4}-32}\right)\left(m^{2}-\sqrt{m^{4}-32}\right)}\)
\(\displaystyle E = \sqrt[5]{(m^{2})^{2}-\left(\sqrt{m^{4}-32}\right)^{2}} = \sqrt[5]{m^{4}-m^{4}+32} = \sqrt[5]{32} = 2\)
Reemplazando en \(\displaystyle M\):
\(\displaystyle M = (2^{-1}-0,5)^{3} = (0,5-0,5)^{3} = 0\)

3 / 8

Categoría: Álgebra

Calcule el valor de "\(\displaystyle k^{2}\)" de la división \(\displaystyle\frac{6x^{4}-x^{3}-4x^{2}+5x+3k}{3x+1}\) si se sabe que el resto es \(\displaystyle 2k+1\).

A) 9

B) 4

C) 8

D) 1

E) 5

RESOLUCIÓN:

Por el teorema del resto o método de Ruffini, igualamos el divisor a cero:
\(\displaystyle 3x + 1 = 0 \implies x = -\displaystyle\frac{1}{3}\)
Al dividir los coeficientes \(\displaystyle [6, -1, -4, 5, 3k]\) se obtiene como residuo \(\displaystyle 3k - 2\).
Igualando al resto del dato:
\(\displaystyle 3k - 2 = 2k + 1 \implies k = 3 \implies k^{2} = 9\)

4 / 8

Categoría: Álgebra

Sean \(\displaystyle m\) y \(\displaystyle n\) las raíces de \(\displaystyle x^{2}-\displaystyle\frac{k}{3}x+6=0\) tal que \(\displaystyle m^{2}+n^{2}=13\), determine el mayor valor de \(\displaystyle k\).

A) 3

B) 15

C) 5

D) 6

E) 18

RESOLUCIÓN:

De la ecuación \(\displaystyle 3x^{2}-kx+18=0\), aplicamos el teorema de Cardano:
\(\displaystyle m + n = \displaystyle\frac{k}{3}\) y \(\displaystyle m \cdot n = \displaystyle\frac{18}{3} = 6\)
Elevando la suma al cuadrado:
\(\displaystyle (m+n)^{2} = \displaystyle\frac{k^{2}}{9} \implies m^{2} + n^{2} + 2mn = \displaystyle\frac{k^{2}}{9}\)
\(\displaystyle 13 + 2(6) = \displaystyle\frac{k^{2}}{9} \implies 25 = \displaystyle\frac{k^{2}}{9} \implies k^{2} = 225 \implies k = \pm 15\)
El mayor valor es \(\displaystyle k = 15\).

5 / 8

Categoría: Álgebra

Sea \(\displaystyle \sqrt{3x+2+\sqrt{20x+8x^{2}-12}} = \sqrt{2x-1}+R(x)\), \(\displaystyle x \gt 4\). Obtenga el valor de \(\displaystyle R(13)\).

A) 3

B) 4

C) \(\displaystyle sqrt{3}\)

D) 12

E) 2

RESOLUCIÓN:

Damos forma al radical doble factorizando el polinomio interno:
\(\displaystyle \sqrt{3x+2+\sqrt{4(2x^{2}+5x-3)}} = \sqrt{3x+2+2\sqrt{(2x-1)(x+3)}} = \sqrt{2x-1} + R(x)\)
Como \(\displaystyle (2x-1)+(x+3) = 3x+2\) y \(\displaystyle 2x-1 \gt x+3\) para \(\displaystyle x \gt 4\):
\(\displaystyle \sqrt{2x-1} + \sqrt{x+3} = \sqrt{2x-1} + R(x) \implies R(x) = \sqrt{x+3}\)
Luego: \(\displaystyle R(13) = \sqrt{13+3} = \sqrt{16} = 4\)

6 / 8

Categoría: Álgebra

Al factorizar \(\displaystyle P(x,y)=2x^{4}y^{3}+15x^{2}y^{3}-27y^{3}\), determine el grado del factor primo de mayor grado.

A) 5

B) 1

C) 7

D) 3

E) 2

RESOLUCIÓN:

Extraemos el factor común \(\displaystyle y^{3}\) y factorizamos por aspa simple:
\(\displaystyle P(x,y) = y^{3}(2x^{4}+15x^{2}-27) = y^{3}(2x^{2}-3)(x^{2}+9)\)
\(\displaystyle P(x,y) = 2y^{3}\left(x-\sqrt{\displaystyle\frac{3}{2}}\right)\left(x+\sqrt{\displaystyle\frac{3}{2}}\right)(x^{2}+9)\)
Según el solucionario oficial, se considera el factor \(\displaystyle y^{3}\) con grado igual a \(\displaystyle 3\).

7 / 8

Categoría: Álgebra

Reduzca la expresión \(\displaystyle E = \sqrt[n-1]{\displaystyle\frac{8^{n-1}+1}{8^{1-n}+1}} \times \sqrt[n-1]{\displaystyle\frac{2^{1-n}+1}{2^{n-1}+1}}\).

A) 2

B) 9

C) 4

D) 8

E) 3

RESOLUCIÓN:

Factorizando en cada radicando:
\(\displaystyle E = \sqrt[n-1]{\displaystyle\frac{8^{n-1}(1+8^{1-n})}{8^{1-n}+1}} \times \sqrt[n-1]{\displaystyle\frac{2^{1-n}+1}{2^{n-1}(1+2^{1-n})}}\)
Simplificando los factores comunes:
\(\displaystyle E = \sqrt[n-1]{8^{n-1}} \times \sqrt[n-1]{\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}} = 8 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 4\)

8 / 8

Categoría: Álgebra

Si \(\displaystyle p(x)=(3x^{2}-1)^{m-2}(x^{2}+x^{3}-1)^{m}(3x+2024)^{4}\) tiene como grado absoluto 15, determine el coeficiente principal de \(\displaystyle p(x)\).

A) 243

B) 212

C) 181

D) 147

E) 234

RESOLUCIÓN:

Del grado absoluto igual a 15:
\(\displaystyle 2(m-2) + 3m + 4 = 15 \implies 2m - 4 + 3m + 4 = 15 \implies 5m = 15 \implies m = 3\)
Calculamos el coeficiente principal:
\(\displaystyle \text{Coef. principal} = (3)^{m-2} \cdot (1)^{m} \cdot (3)^{4} = 3^{1} \cdot 1 \cdot 3^{4} = 3^{5} = 243\)

AULA 02

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MUESTRA DE EVALUACION DEL SEMINARIO 2027-I

1 / 8

Categoría: Álgebra

Reduzca la expresión \(\displaystyle E = \sqrt[n-1]{\displaystyle\frac{8^{n-1}+1}{8^{1-n}+1}} \times \sqrt[n-1]{\displaystyle\frac{2^{1-n}+1}{2^{n-1}+1}}\).

A) 8

B) 9

C) 2

D) 4

E) 3

RESOLUCIÓN:

2 / 8

Categoría: Álgebra

Si \(\displaystyle E=\sqrt[5]{m^{2}+\sqrt{m^{4}-32}}\sqrt[5]{m^{2}-\sqrt{m^{4}-32}}\), halle el valor de \(\displaystyle M=(E^{-1}-0,5)^{3}\).

A) 7

B) 8

C) 4

D) 0

E) 1

RESOLUCIÓN:

3 / 8

Categoría: Álgebra

A) 18

B) 5

C) 3

D) 6

E) 15

RESOLUCIÓN:

4 / 8

Categoría: Álgebra

Al factorizar \(\displaystyle P(x,y)=2x^{4}y^{3}+15x^{2}y^{3}-27y^{3}\), determine el grado del factor primo de mayor grado.

A) 7

B) 2

C) 5

D) 1

E) 3

RESOLUCIÓN:

5 / 8

Categoría: Álgebra

Calcule el quinto término del desarrollo del cociente notable \(\displaystyle\frac{x^{2}-2x}{\sqrt[5]{x-1}-1}\).

A) \(\displaystyle sqrt[5]{x-1}\)

B) \(\displaystyle (x-1)^{5}\)

C) \(\displaystyle x^{2}-1\)

D) \(\displaystyle x+1\)

E) \(\displaystyle x-1\)

RESOLUCIÓN:

6 / 8

Categoría: Álgebra

Sea \(\displaystyle \sqrt{3x+2+\sqrt{20x+8x^{2}-12}} = \sqrt{2x-1}+R(x)\), \(\displaystyle x \gt 4\). Obtenga el valor de \(\displaystyle R(13)\).

A) 4

B) 2

C) 12

D) \(\displaystyle sqrt{3}\)

E) 3

RESOLUCIÓN:

7 / 8

Categoría: Álgebra

Calcule el valor de "\(\displaystyle k^{2}\)" de la división \(\displaystyle\frac{6x^{4}-x^{3}-4x^{2}+5x+3k}{3x+1}\) si se sabe que el resto es \(\displaystyle 2k+1\).

A) 8

B) 5

C) 9

D) 4

E) 1

RESOLUCIÓN:

8 / 8

Categoría: Álgebra

Si \(\displaystyle p(x)=(3x^{2}-1)^{m-2}(x^{2}+x^{3}-1)^{m}(3x+2024)^{4}\) tiene como grado absoluto 15, determine el coeficiente principal de \(\displaystyle p(x)\).

A) 212

B) 234

C) 181

D) 147

E) 243

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AULA 03

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MUESTRA DE EVALUACION DEL SEMINARIO 2027-I

1 / 8

Categoría: Álgebra

Calcule el quinto término del desarrollo del cociente notable \(\displaystyle\frac{x^{2}-2x}{\sqrt[5]{x-1}-1}\).

A) \(\displaystyle x-1\)

B) \(\displaystyle x^{2}-1\)

C) \(\displaystyle (x-1)^{5}\)

D) \(\displaystyle x+1\)

E) \(\displaystyle sqrt[5]{x-1}\)

RESOLUCIÓN:

2 / 8

Categoría: Álgebra

Reduzca la expresión \(\displaystyle E = \sqrt[n-1]{\displaystyle\frac{8^{n-1}+1}{8^{1-n}+1}} \times \sqrt[n-1]{\displaystyle\frac{2^{1-n}+1}{2^{n-1}+1}}\).

A) 8

B) 3

C) 4

D) 9

E) 2

RESOLUCIÓN:

3 / 8

Categoría: Álgebra

A) 3

B) 18

C) 15

D) 6

E) 5

RESOLUCIÓN:

4 / 8

Categoría: Álgebra

Si \(\displaystyle E=\sqrt[5]{m^{2}+\sqrt{m^{4}-32}}\sqrt[5]{m^{2}-\sqrt{m^{4}-32}}\), halle el valor de \(\displaystyle M=(E^{-1}-0,5)^{3}\).

A) 1

B) 0

C) 7

D) 4

E) 8

RESOLUCIÓN:

5 / 8

Categoría: Álgebra

Si \(\displaystyle p(x)=(3x^{2}-1)^{m-2}(x^{2}+x^{3}-1)^{m}(3x+2024)^{4}\) tiene como grado absoluto 15, determine el coeficiente principal de \(\displaystyle p(x)\).

A) 181

B) 212

C) 243

D) 234

E) 147

RESOLUCIÓN:

6 / 8

Categoría: Álgebra

Al factorizar \(\displaystyle P(x,y)=2x^{4}y^{3}+15x^{2}y^{3}-27y^{3}\), determine el grado del factor primo de mayor grado.

A) 2

B) 5

C) 7

D) 3

E) 1

RESOLUCIÓN:

7 / 8

Categoría: Álgebra

Sea \(\displaystyle \sqrt{3x+2+\sqrt{20x+8x^{2}-12}} = \sqrt{2x-1}+R(x)\), \(\displaystyle x \gt 4\). Obtenga el valor de \(\displaystyle R(13)\).

A) 12

B) \(\displaystyle sqrt{3}\)

C) 3

D) 2

E) 4

RESOLUCIÓN:

8 / 8

Categoría: Álgebra

Calcule el valor de "\(\displaystyle k^{2}\)" de la división \(\displaystyle\frac{6x^{4}-x^{3}-4x^{2}+5x+3k}{3x+1}\) si se sabe que el resto es \(\displaystyle 2k+1\).

A) 4

B) 5

C) 8

D) 9

E) 1

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